Отношения порядка
Определение 9. Отношение
на множестве называется отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами:Обычно отношение порядка обозначают знаком
. Если для двух элементов и выполняется , то говорят, что "предшествует" . Как и для отношения эквивалентности, условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:Пример 3. Простым примером отношения порядка является отношение, задаваемое обычным неравенством
на множестве вещественных чисел . Заметим, что для любых чисел и выполняется либо , либо , т.е. любые два числа сравнимы между собой. Такие отношения называются отношениями полного порядка.Предикат данного отношения есть просто утверждение
.Пример 4. Рассмотрим на множестве
всех сотрудников некоторого предприятия отношение, задаваемое следующим образом: сотрудник предшествует сотруднику тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:Назовем такое отношение "быть начальником". Легко проверить, что отношение "быть начальником" является отношением порядка. Заметим, что в отличие от предыдущего примера, существуют такие пары сотрудников
и , для которых не выполняется ни , ни (например, если и являются сослуживцами). Такие отношения, в которых есть несравнимые между собой элементы, называют отношениями частичного порядка.